\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{makecell}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tikz}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{原子核的壳层模型基础}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
			\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
				% 原子核（红色大圆）
				\draw[red] (0,0) circle (1cm) node[below=1.5cm]{原子核};
				\node[below,right] at(0,0) {$O$};

				% 壳层轨道（蓝色小圆偏离中心）
				\draw[blue, thick] (0.3,0.4) circle (0.2 cm) node[right=0.2cm] {核子};
				
				% 谐振子势阱的箭头指示
				\draw[->, very thick, orange] (0.3,0.4) -- (0,0);

				% 坐标轴（可选）
				\draw[->, thin] (1,1) -- (-1,-1) node[left]{$x$};
				\draw[->, thin] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$y$};
				\draw[->, thin] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[left]{$z$};
			\end{tikzpicture}
			\caption{原子核示意图。由于原子核和核子均很小，可以认为是点粒子，核子只在原点附近振动}
	\end{figure}
	
	\footnote{参考：W站核壳层模型、三维谐振子词条。本笔记使用AI辅助。}
	之前我们探讨了电子的壳层结构，现在我们探讨原子核的壳层结构。
	我们不精确地假定，在原子核内，一个核子处于一种三维谐振子势阱\footnote{众所周知，根据Taylor展开，任何在平衡位置附近的势能都能被写为抛物线形式}之中，
	这个势能源于原子核（或者说，其余所有核子）对其施加的作用力：
	\begin{equation}
		V = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2 + y^2 + z^2)
	\end{equation}
	此时一个核子相当于一个在势阱中振动的三维振子，其波函数及其满足的三维谐振子Schrodinger方程是
	\begin{equation}
		\Psi = \Psi(x,y,z) \quad \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2 + y^2 + z^2) \right] \Psi = \varepsilon \Psi
	\end{equation}
	依托扎实的数学物理功底（具体数学过程参考隔壁PDE求解笔记，或者一维谐振子Schrodinger方程笔记），我们立即使用分离变量法将其分解为三个一维谐振子Schrodinger方程：
	\begin{equation}
		\Psi(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)
		\quad
		\begin{cases}
			\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{~}{x} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right] X = \varepsilon_x X \\
			\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{~}{y} + \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 \right] Y = \varepsilon_y Y \\
			\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{~}{z} + \frac{1}{2} m \omega^2 z^2 \right] Z = \varepsilon_z Z \\
		\end{cases}
		\quad
		\varepsilon = \varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z
	\end{equation}
	我们如果熟悉一维谐振子Schrodinger方程的解（如果不熟悉，参考隔壁一维谐振子Schrodinger方程笔记），
	就知道一维谐振子的能量本征值应为
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			\varepsilon_x = \hbar \omega (n_x + 1/2) \\
			\varepsilon_y = \hbar \omega (n_y + 1/2) \\
			\varepsilon_z = \hbar \omega (n_z + 1/2) \\
		\end{cases}
		\quad n_x, n_y, n_z =0,1,2,3,\dots
	\end{equation}
	那么，这个三维谐振子的能量$\varepsilon$是
	\begin{equation} \label{eq_E}
		\varepsilon = \hbar \omega (n_x + 1/2) + \hbar \omega (n_y + 1/2) + \hbar \omega (n_z + 1/2) 
		= \hbar \omega \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right)
	\end{equation}
	也就是说，核子的本征态及其本征态能量可由$n_x,n_y,n_z$来描述，且其为非负整数。
	在这种谐振子假设下，核子的本征态性质甚至比电子还简单！
	
	\newpage
	\section{应用壳层模型}
	上文我们讨论了核子的本征态，现在我们讨论核子是如何排布进原子核壳层的
	\footnote{由于质子和中子是不同种类的粒子，因此质子和中子各自有自己的壳层。下文的‘核子’指代质子或中子之一。}
	的。
	
	为了简化讨论，我们约定：
	\begin{equation}
		n = n_x + n_y + n_z \quad n = 0,1,2,3,\dots
	\end{equation}
	这能简化 \formula{eq_E} 的能量表达形式：
	\begin{equation}
		\varepsilon = \hbar \omega \left( n + \frac{3}{2} \right) \quad n = 0,1,2,3,\dots
	\end{equation}
	总之，我们既可以使用$n_x,n_y,n_z$作为分离变量，也可以使用$n, n_x, n_y$（自动有$n_z = n - n_x - n_y$）。
	
	考虑到$n,n_x,n_y$的取值范围（非负整数），以及核子的费米子性质（一个本征态最多容纳两个相同的核子），
	我们发现原子核也可以形成类似电子壳层的壳层结构，其排布规律总结如下：
	
	% Please add the following required packages to your document preamble:
	% \usepackage{multirow}
	\begin{table}[h]
		\caption{原子核壳层排布}
		\centering
		\label{tab1}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\begin{tabular}[c]{@{}c@{}}n\\ $n=0,1,2,\dots$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$n_x$\\ $n_x=0,1,2,\dots,n$ \end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$n_y$\\ $n_y=0,1,2,\dots,n-n_x$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}} 轨道数\\ $(n+1)(n+2)/2$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}} 可容纳核子数\\ $(n+1)(n+2)$\end{tabular} \\ \hline
			0                                                       & 0                                                           & 0                                                              & 1                                                           & 2                                                          \\ \hline
			\multirow{2}{*}{1}                                      & 0                                                           & 0,1                                                            & \multirow{2}{*}{3}                                          & \multirow{2}{*}{6}                                         \\ \cline{2-3}
			& 1                                                           & 0                                                              &                                                             &                                                            \\ \hline
			\multirow{3}{*}{2}                                      & 0                                                           & 0,1,2                                                          & \multirow{3}{*}{6}                                          & \multirow{3}{*}{12}                                        \\ \cline{2-3}
			& 1                                                           & 0,1                                                            &                                                             &                                                            \\ \cline{2-3}
			& 2                                                           & 0                                                              &                                                             &                                                            \\ \hline
			\multirow{4}{*}{3}                                      & 0                                                           & 0,1,2,3                                                        & \multirow{4}{*}{10}                                         & \multirow{4}{*}{20}                                        \\ \cline{2-3}
			& 1                                                           & 0,1,2                                                          &                                                             &                                                            \\ \cline{2-3}
			& 2                                                           & 0,1                                                            &                                                             &                                                            \\ \cline{2-3}
			& 3                                                           & 0                                                              &                                                             &                                                            \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	可见，在原子核壳层中，第一层最多容纳$2$个核子，第二层$6$个，...，越高的层能量越高。
	这种壳层结构可以解释一些原子核稳定性现象
	\footnote{按照惯例，现实中原子核的能量往往按结合能计，而原子结合能是将原子核拆成离散的质子和中子所需的能量，因此此处“能量较低”应该理解为“结合能较高”等。}：
	\begin{itemize}
		\item 当核子数是偶数时，没有孤核子单独存在，能量较低、原子核较稳定。这与实验观测到的"偶偶核”（质子数、中子数均为偶数的核素）稳定一致；
		\item 当核子恰好能填充满壳层时，即共$2,8,20,40,\dots$个核子时，壳层全满而能量较低、原子较稳定。这个可以解释部分幻数的来历；
		\item 当核子很多时，壳层能量较高、原子核不稳定。现实中，元素序数高的元素往往不稳定而容易衰变，例如Bi及以上的元素没有稳定的核素。
	\end{itemize}

\end{document}
